-- Olvasási idő kb.: 2 perc és 23 másodperc

253. feladvány: Gumikarika ujjakon

Hányféleképpen lehet egy gumikarikát (befőttes gumit vagy hajgumit) az ujjainkra tenni úgy, hogy mind az öt ujj részt vegyen a gumikarika kifeszítésében? Az ujjainkat megkülönböztethetőknek tekintjük, és úgy tartjuk őket, hogy felülről nézve egy konvex ötszög csúcsait jelöljék ki az ujjbegyeink. A gumikarikának tehát feszesnek kell lennie, minden ujjat érintenie kell, és felülnézetből nézve egyetlen íven sem haladhat át többször a gumi, azaz nem kerülheti meg egyik ujjunkat se többször. Két lehetséges kifeszítést láthatunk alább. Hány van összesen? A feladatot tekinthetjük síkbeli problémának!

Haladjunk végig a gumikarika vonala mentén az egyik irányba, és nézzük meg az adott formációt hogyan tudnánk egyértelműen jellemezni?

Ahhoz, hogy a gumi ki legyen feszítve az ujjak által, minden ujjbegynél el kell haladjon legalább egyszer a külső íven, mert egyébként nem tudná az ujjat a többi ujj irányába feszíteni a gumi. Viszont a feladat szerint többször nem haladhat ugyanazon az íven, és szintén a feladat szerint minden ujjat érintenie kell, tehát minden ujjnál pontosan egyszer kell a külső íven haladnia a guminak.

A kérdés tehát az, hogy melyik ujj után melyik ujjhoz és milyen irányból fut a gumi, azaz ha egy adott ponttól kezdve egy adott irányba végigmegyünk a gumikarika mentén, akkor milyen sorrendben következnek egymás után az ujjak, és melyiket milyen irányítással kerüljük meg, azaz a külső íven óramutató járásával egyező vagy ellentétes irányban kerülünk-e. Természetesen a guminak önmagában nincsen irányítása, vagyis az például önmagában egy értelmetlen állítás, hogy a gumikarika óramutató járásával azonos irányban kerüli a mutató ujjunkat, ennek csakis akkor van értelme, ha előtte a gumikarikán kijelöltünk egy pontot, és onnan az egyik irányba elindultunk a gumikarika mentén.

Tegyünk tehát így! Induljunk el mondjuk a hüvelykujjunkat kerülő gumikarika külső ívének egy pontjából, és tegyük fel, hogy óramutató járásával azonos irányba indulunk a gumikarika mentén (ábrán legfelül). Ezt bármilyen konfiguráció esetén megtehetjük egyértelműen. Ezután a konfigurációt teljes mértékben leírja, ha leírjuk, hogy a hüvelykujjunk után melyik ujjunk a következő, ahova megy a gumiszál, és azt az ujjat milyen irányítással kerüli meg a gumiszál, és így tovább. Az ábrán lévő példa esetében + jellel jelöltük az óramutató járásával megegyező irányt, és – jellel az ellentétes irányú kerülést.

A hüvelykujj után a második ujj, amit meglátogatunk 4 féle lehet, a harmadik 3 féle és így tovább. A lehetőségek száma tehát az ujjak ciklikus sorrendjére 4×3×2×1 = 24. Ezen kívül mind a négy ujj esetében választhatunk kétféle irányítás közül, ami még többszörözi a lehetőségeket: összesen 2×2×2×2 = 16-tal. A hüvelyk ujjunknál azért nem választunk irányítást, mert amint azt már mondtuk, a guminak a valóságban nincs iránya, azt csak a leszámolás megkönnyítésére vezetjük be. A lehetőségek összes száma ezek szerint tehát 24×16 = 384.

Mindez persze csak akkor igaz, ha az ujjainkat megkülönböztetjük, ha azt kérdeznénk, hogy hányféle mintázat lehetséges, és a forgásszimmetrikusakat egyformának tekintenénk, akkor jóval kevesebb lehetőség lenne. Vajon mennyi?

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás