292. feladvány: Tojáskör színezés

Csíkos és pöttyös tojások felváltva helyezkednek el egy kör mentén. Át lehet-e színezni a nyolc tojást úgy, hogy csak az egyik legyen pöttyös, ha egyszerre mindig három egymás melletti tojást színezhetünk át, és az átszínezés során pöttyösből csíkosat, csíkosból pedig pöttyöset kell készítenünk? És mi lenne, ha 100 tojás lenne?

Keressünk olyan színezés sorozatot, amivel pontosan egy tojás változik csak át!

Ha a tojások száma nem osztható 3-mal, akkor könnyen találunk olyan színezés- sorozatot, amivel pontosan egy tojás változik csak át. Nyolc tojás esetén például végezzük el az alábbi színezéseket: (8,1,2), (2,3,4), (6,7,8), (3,4,5), (5,6,7) ahol a számok a tojások kör mentén elfoglalt pozícióit jelölik. Láthatjuk, hogy minden pozíció kétszer szerepel, kivéve az 1-est, tehát minden tojás visszaváltozik, kivéve az 1-es pozícióban lévő tojást, mert annak a mintája csak egyszer változik, tehát összességében átváltozik. A kedves olvasóra bízzuk, hogy hasonló stratégiát követve 100 tojásra is találunk-e ilyen színezést, de ott háromszor kell változnia a kiszemelt tojásnak.

A fenti módszernél egyébként az sem lényeg, hogy a színezéseket milyen sorrendben csináljuk, hiszen csak az számít, hogy a végére összességében melyik tojás változik páros, illetve páratlan alkalommal. A színezés-sorozatot eltolva, azaz elforgatva a kör mentén, természetesen bármelyik más pozícióban lévő tojás átszínezése elérhető.

Ha viszont egy hosszabb színezés-sorozattal elérhető, hogy csak egy tojás mintáját átváltoztassuk, akkor lényegében bármilyen mintasorozatot el tudunk érni, mert egyesével készítjük el a mintát. Ezzel bebizonyítottuk, hogy lehetséges a dolog, viszont a gyakorlatban találhatunk a fenti algoritmusnál kevesebb lépésből álló színezést is.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Forrás