A matekérettségi első ránézésre kiszámítható rendszer: képletek, szabályok, logika. Nincs ez másképp az idei feladatsorral sem, amely elsőre, szakmai szemmel nézve kiegyensúlyozottnak tűnt, és egyértelműen kedvezett azoknak, akik tudatosan készültek és gyakoroltak, így jogosan mondhatják majd sokan, hogy a megoldás nem volt nagy tudomány. Ugyanakkor nem maradtak el a buktatók sem: több olyan rész is akadt, amely első pillantásra ijesztőnek tűnhetett, vagy könnyen hibázásra csábított. Különösen feltűnő volt, hogy a feladatok megoldásához az átlagosnál nagyobb mértékű szövegértésre volt szükség, és szinte minden példán belül megjelentek olyan alkérdések, amelyek összetettebb gondolkodást igényeltek.

Amikor egy érettségi-feladatsorról beszélünk, általában tanári szemmel értékelünk: milyen témák jelentek meg, mennyire volt nehéz, mennyire felelt meg a követelményeknek. Érdemes azonban egy pillanatra nézőpontot váltani, és megnézni, hogyan élhették meg mindezt a diákok.

A vizsgázók félelme nem feltétlenül abból fakad, hogy bonyolult képleteket kell alkalmazni, hanem abból, hogy a feladatok gyors, pontos és fegyelmezett gondolkodást követelnek meg. Egy rossz lépés, egy elcsúszott számolás vagy egy félreértett szöveg könnyen dominóhatást indíthat el, és máris pontok vesznek el.

Pedig a tapasztalat azt mutatja, hogy a diákok többsége nem magát a matematikát nem szereti, hanem azt az élményt, amit a tanulás során kap. És talán éppen itt dől el minden: nem az, hogy mit tanítunk, hanem az, hogy hogyan? Ebben próbálnak más megközelítést adni a Rapid Edu felkészítő kurzusai is, ahol a tanulás élményalapú, és a hibázás nem kudarc, hanem a fejlődés része.

Diákszemmel mindez már kevésbé tűnhetett kiegyensúlyozottnak: bár akadt több olyan rész is, amely megnyugvásra adhatott okot, összességében inkább egy folyamatos koncentrációt igénylő időfutamként élhették meg a dolgozatot, ahol nemcsak az volt a kérdés, hogy felismerik-e a feladatban rejlő matematikai problémát és megtalálják-e a megoldást, hanem az is, hogy végig tudják-e vinni hibák nélkül a több lépésből álló feladatokat.

Összességében nem voltak lényegesen váratlan feladattípusok, ugyanakkor több olyan pont is volt, ahol könnyű volt hibázni, főleg időnyomás alatt.

Hogyan épül fel a matekérettségi?

A középszintű matematikaérettségi két nagy részből áll, amelyek eltérő készségeket mérnek.

Az első részben 12 rövid feladatot kell megoldani 45 perc alatt, összesen 30 pontért. Ezek a példák elsősorban alapfogalmakat, definíciókat és egyszerű összefüggések ismeretét ellenőrzik. A legtöbb esetben nem kell részletes indoklást írni, elegendő a végeredményt beírni a kijelölt helyre.

Ahogyan a korábbi években, néhány feladatnál idén is kifejezetten elvárták a megoldás menetét is. Ilyen volt például a 9. feladat, ahol egy általános háromszög egy ismert oldala és két szöge alapján kellett egy másik oldal hosszát meghatározni, amihez a szinusztételt kellett alkalmazni.

Hasonlóan indoklást igényelt a 11. feladat is, amely egy klasszikus kombinatorikai problémát dolgozott fel: hány háromjegyű, különböző számjegyekből álló páratlan természetes szám képezhető az 1, 2, 3 és 4 számjegyekből. A feladat józan paraszti összeszámolással is megoldható volt, ugyanakkor külön figyelmet igényelt a feltétel helyes kezelése, az utolsó számjegy lehetőségének kiválasztása, amely kétféle lehetett, hisz páratlannak kellett lennie. Az utolsó, tipikus valószínűségszűmítási feladatnál is elvárt volt a gondolatmenet bemutatása.

A második rész már jóval hosszabb és összetettebb gondolkodást igényelt;. erre 135 perc állt rendelkezésre. A II/A részben három kötelező feladat volt, míg a II/B részben három feladat közül kettőt kellett kiválasztani. A kihagyott feladat sorszámát a dolgozat elején jelölni kellett. Ez az a rész, ahol általában a legnehezebb feladatok jelennek meg, gyakran olyan témakörökből, amelyeket a diákok kevésbé szeretnek vagy ritkábban gyakorolnak.

A két csodafegyver: a függvénytáblázat és a számológép

A matekérettségin két eszköz jelent komoly segítséget a diákok számára az íróeszközökön és vonalzókon felül. Az egyik a négyjegyű függvénytáblázat, amely rendszerezetten tartalmazza a legfontosabb képleteket és elméleti összefüggéseket. Azok vannak igazán előnyben, akik nemcsak ismerik, hanem használni is tudják. A függvénytáblázat egyszerre legális puska és térkép – de csak akkor segít, ha tudod, merre indulsz. A kiadványokból több is rendelkezik az Oktatási Hivatal engedélyével, és mindegyiket lehet használni a vizsga során, akár egyszerre is.

A függvénytáblázat a feladatsor több pontján is hasznos eszköznek bizonyult. Már az első részben is akadtak olyan feladatok, ahol gyorsíthatta a munkát. Például a 4. feladatnál, ahol sokszögek átlóinak számát adó képlet segítségével egy konvex tizenegyszög esetében elegendő volt a megfelelő képletbe helyettesíteni, így a feladat inkább felismerést, mint számolást igényelt.

Hasonlóan jól használható volt a táblázat az 5. feladatnál, ahol egy exponenciális függvény grafikonját kellett kiválasztani négy válaszlehetőség közül: a grafikonok jellegzetes alakjai szerepelnek a függvénytáblázatban, így egy felismeréses feladatnál gyors támpontot adhatott.

Tipikus példája a képlethasználatnak a kör egyenlete is, amely a 8. feladat volt: itt a középpont és a sugár alapján kellett felírni az egyenletet. Ilyenkor a függvénytáblázatból azonnal kiolvasható az általános alak, ugyanakkor könnyű hibázni: jelen esetben a középpont egyik koordinátája (−3), akkor az egyenletben ez (+3) formában jelenik meg. Ezek azok az apró részletek, ahol a képlet ismerete önmagában még nem elég, a helyes alkalmazás is kulcsfontosságú.

A függvénytáblázat természetesen a második rész összetettebb feladatainál is komoly segítséget jelenthet, különösen akkor, ha a diák tudatosan épít rá, és nem csak belenéz, hanem valóban használja.

A másik a számológép, amely az érettségi szabályai szeerint szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem lehet alkalmas. Ezekből számos elérhető változat van, de van egy, amely különösen sok részszámításnál segíthet. Ilyen például a nullára rendezett másodfokú egyenlet megoldása, az átlag vagy a szórás kiszámítása.

A számológép nem gondolkodik a vizsgázó helyett, de leveheti róla a felesleges terheket. A magabiztos elégséges jegy megszerzésében is nagy segítség tud lenni. Ezeknek az eszközöknek számos olyan funkciója van, amelyekkel pontot lehet gyűjteni; a fentieken túl ilyen az egyenletrendszerek és az egyenlőtlenségek megoldása.

Az idei feladatsorban az első részben nem volt olyan példa, amely pusztán bepötyögéssel megoldható lett volna, ugyanakkor akadtak olyan feladatok, ahol ügyes használattal gyorsabban eredményhez lehetett jutni. Ilyen volt például a hatványazonosságokra épülő 7. feladat, amely egy egész kitevős exponenciális egyenletre utalt, ahol egy megfelelően felírt alak segítségével a számológép is támogathatta a megoldást. Összességében a számológép minden feladatnál jelen van mint háttértámogatás, és rutinos használata végig érezhető előnyt jelenthet a vizsga során.

Az első rész: az idő a legnagyobb ellenfél

Az első rész nem volt feltétlenül nehéz, inkább gyors. A feladatok többsége külön-külön nem igényelt mély gondolkodást, viszont nagyon könnyű volt időt veszíteni rajtuk.

Rögtön ilyen volt a 2. feladat, amely egy jól ismert, gyakran visszatérő feladattípusra épült: gráfot kellett rajzolni. A gráfok leegyszerűsítve pontokból és az azokat összekötő vonalakból álló struktúrák, amelyek kapcsolatokat jelentenek, ebben a fokszám azt mutatja meg, hogy egy adott pontból hány él indul ki. Idén azonban volt egy apró csavar a megszokott sémához képest. Nem minden csúcs fokszámát adták meg közvetlenül, hanem csak egyet, a többit a fokszámok összegére vonatkozó összefüggésből kellett meghatározni. Ez önmagában nem volt bonyolult, de első ránézésre könnyen kizökkenthette azokat, akik kizárólag begyakorolt minták alapján dolgoztak. Segítséget jelentett, hogy a feladat megadta: egy ötpontú gráfról van szó, így a lehetséges megoldások köre jól behatárolható volt. Ez a példa jól mutatja az első rész egyik sajátosságát: nem a nehézség, hanem a megszokottól való apró eltérés az, ami időt és koncentrációt igényel.

A valószínűségszámítás sok diák számára továbbra is a nehezebben szerethető témák közé tartozik, ugyanakkor az iskolai oktatásban egyre nagyobb hangsúlyt kap, és az érettségin is jelentős számban jelenik meg. Idén sem volt ez másképp: a megszokott módon az első rész utolsó, 12. feladata egy klasszikus dobókockás valószínűségi példa volt.

A feladatban azt kellett meghatározni, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy két dobott szám különbsége legalább 4. Ez egy jól ismert feladattípus, amelyet a legtöbb diák valószínűleg már többször is begyakorolt.

A legegyszerűbb megoldási út a klasszikus valószínűségi modell alkalmazása volt: meg kellett számolni a kedvező esetek számát, majd elosztani az összes lehetséges kimenetel számával. A kedvező esetek viszonylag könnyen felsorolhatók voltak, például (6;1), (6;2) és (5;1), ugyanakkor fontos volt figyelni arra, hogy ezek fordított sorrendben is külön kimenetelnek számítanak, így az eseteket duplán kellett figyelembe venni.

Az összes lehetséges kimenetel száma két dobókocka esetén 6 · 6 = 36, tehát a keresett valószínűség egyszerűsítés után egy hatod lett. Ez a feladat inkább a pontos esetfelsorolást és a figyelmet tesztelte, mintsem mélyebb matematikai gondolkodást.

Amit be lehet gyakorolni

A feladatsorban számos olyan típus is megjelent, amely rendszeresen visszatér az érettségiken, a már fent említettek első részes feladatok is ilyenek voltak. Ezek azok a feladatok, amelyek gyakorlással szinte biztosan pontokká válhatnak. Ide sorolható már az 1. feladat is, ahol halmazműveletek alkalmazására volt szükség: egy halmaz elemeit kellett meghatározni egy másik halmazzal vett uniója és a megadott elemek alapján. Ez tipikus alapfeladat, amely elsősorban a fogalmak pontos ismeretét és a jelölések helyes értelmezését kéri számon.

Hasonlóan biztos pont volt a 3. feladat is, ahol a jól ismert Pitagorasz-tétel segítségével lehetett pontot szerezni. Egy derékszögű háromszögben kellett az egyik befogó hosszát meghatározni az átfogó és a másik befogó ismeretében, ami klasszikus, sokszor gyakorolt feladattípusnak számít.

Ezek a példák jól mutatják, hogy az első részben a biztos alapok és a begyakorolt minták ismerete komoly előnyt jelenthet.

Szerencsések voltak azok a diákok, akik magabiztosan mozognak az egyenletek világában, hiszen az utóbbi évekhez hasonlóan idén is egy egyenlet szerepelt a 13. feladat a) részében. Bár első ránézésre összetettnek tűnhetett, néhány algebrai átalakítással kezelhetővé vált. A megoldás során azonban akadtak tipikus buktatók: ilyen például a kéttagú összeg négyzetre emelése, ahol könnyű kihagyni a hírhedt tagok kétszeres szorzatát. Az átalakítások után egy másodfokú egyenlethez jutottunk, amelynek megoldása már rutinfeladat, nullára rendezve akár számológép segítségével is. Itt külön pont járt a helyes megoldás ellenőrzéséért vagy az ekvivalens átalakítások alkalmazásra való hivatkozásért.

A feladat b) része klasszikus szöveges feladat volt, amely jól modellezhető egyenlettel vagy egyenletrendszerrel. Azok, akik két ismeretlennel dolgoztak, könnyen felírhatták a szükséges összefüggéseket, de egy változó bevezetésével is egyszerűen megoldható volt a feladat: ha az egyik számot x-szel jelöljük, akkor a másik az összegből adódóan 15 − x formában írható fel.

A feladat kedvessége abban is megmutatkozott, hogy nem számított, melyik számot tekintettük kisebbnek. Ugyanakkor itt is fontos volt az ellenőrzés: a kapott megoldást vissza kellett illeszteni a szövegbe, hogy valóban megfelel-e az eredeti feltételeknek.

A 14. feladat egy jól ismert, visszatérő feladattípus volt a halmazok témaköréből, amelyet ezúttal számelméleti elemekkel egészítettek ki. Nem tartozik a kifejezetten rettegett részek közé, és megfelelő halmazműveleti ismeretekkel az a) és b) részben viszonylag könnyen lehetett pontokat gyűjteni.

Jól látszik az is, ami a második részben gyakori: egy feladaton belül több témakör kapcsolódik össze. Itt a halmazok mellett megjelent a valószínűségszámítás is a c) részben, ami klasszikus módon volt megoldható, ugyanakkor a kedvező esetek pontos összeszámolása okozhatott nehézséget.

A d) rész már nyitottabb gondolkodást igényelt: vagy példát kellett adni, vagy be kellett látni, hogy ilyen szám nem létezik. Ez sok diák számára bizonytalan helyzet lehetett, különösen akkor, ha próbálgatással nem jutottak eredményre, és azt kellett megfogalmazniuk oszthatósági tulajdonságokkal, hogy miért nincs megoldás.

Váratlan fordulatok

Az idei feladatsorban is volt olyan feladat, amely sok diákot meglepett. Ilyen volt például a 10. feladat, ahol két számot kellett megadni úgy, hogy a különbségük 6 legyen, miközben az abszolút értékük megegyezik. Azok a diákok, akik rögtön egyenlet felírásával próbálkoztak, könnyen elakadhattak, míg azok, akik az abszolút érték értelmezésével, miszerint a számok a nullától azonos távolságra helyezkednek el, gyorsabban rájöhettek a megoldásra, ami 3 és −3. A feladat jól mutatja, hogy néha egy gyors felismerés többet ér, mint egy megszokott hosszabb levezetés.

A 15. feladat a függvények témaköréből érkezett, ami sok diák számára kevésbé tartozik a kedvelt részek közé, különösen az új követelményrendszer után, ahol ezek az ismeretek bizonyos szempontból háttérbe szorultak. Ehhez képest most egy komplexebb, több szempontú függvényelemzés jelent meg a második részben, persze mindegyik része szerepel a követelményrendszerben.

A feladat egy másodfokú függvény vizsgálatára épült, ábrázolás nélkül. Azok a diákok, akik vázlatosan felrajzolták a függvény grafikonját, jelentős előnybe kerülhettek, hiszen így több kérdésre is gyorsabban és biztosabban tudtak válaszolni.

Az a) részben alapvető tulajdonságokat kellett felismerni. Nehézséget jelenthetett annak eldöntése is, hogy a függvény kölcsönösen egyértelmű-e, mert ez a fogalom sokaknál valószínűleg nem kapott akkora hangsúlyt a felkészülés során, mint a zérushely, az értékkészlet vagy a grafikon alapvető tulajdonságai. A b) rész a zérushelyek meghatározását kérte, ami gyakorlatilag egy másodfokú egyenlet megoldását jelentette, hiszen a zérushely az a pont, ahol a függvény értéke nulla, vagyis ahol a grafikon metszi az x tengelyt.

A c) rész az értékkészlet meghatározására irányult, ráadásul több lehetőség közül kellett választani. Ez elsőre könnyítésnek tűnhet, ugyanakkor ábra nélkül sok diák számára bizonytalanságot okozhatott, különösen akkor, ha nem volt teljesen tiszta, hogy az értékkészlet azokat az y-értékeket jelenti, amelyeket a függvény felvesz.

A d) részben két pont távolságát kellett meghatározni a függvény grafikonján. Ez megoldható volt koordinátageometriai képlettel, amely megtalálható a függvénytáblázatban, de akár elemi geometriai megfontolásokkal is.

A rettegett szöveges feladatok

A visszajelzések alapján sokszor nem konkrét témakörök, hanem a szöveges feladatok okozzák a legnagyobb problémát. Ezeknél a példáknál az a kulcs, hogy ki tudjuk szűrni, mi a lényeges adat és milyen kapcsolat van az adatok között, milyen ismeretek között érdemes keresnünk, amelyek a megoldást előre vihetik.

Nemcsak az a kérdés, hogy tudod-e a megoldást, hanem az is, hogy végig tudod-e vinni hibák nélkül. Ilyen volt a II. részben szereplő 16., 17. és 18. feladat is. Ezeknél feltűnően hosszú szövegekkel kellett dolgozni, a megszokottnál is több információval, ami önmagában is időigényessé tette a munkát. Sok diák valószínűleg többször is végigolvasta a szöveget, mire biztosan megértette, mit is kell csinálni. Bár a nehézség jelentős része valóban a szövegértésben rejlett, nem lehet azt mondani, hogy a matematikai tartalom minden esetben egyszerű volt: mindhárom feladat tartogatott olyan részeket, ahol a megfelelő módszer kiválasztása és a pontos kivitelezés már komolyabb kihívást jelentett.

A 16. feladat tipikus mindenevő szöveges feladat volt, ahol az a) részben az adatok helyes értelmezése és az időegységek közti átváltás után egy egyszerű százalékszámítással lehetett eredményre jutni. A b) rész klasszikus átlagolási feladat volt, ahol a kapott értéket óra-perc formára kellett átváltani, ami inkább figyelmet, mint mély matematikai tudást igényelt. A c) részben trigonometriai összefüggést kellett felismerni egy derékszögű háromszögben, ahol a tangens alkalmazása vezetett gyorsan a megoldáshoz. A d) rész már összetettebb gondolkodást igényelt: geometriai modellalkotással, trigonometriai számítással és területszámítással kellett meghatározni a keresett tengeri terület nagyságát.

A 17. feladat a) része inkább gyakorlati szemléletet igényelt, ahol azt kellett felismerni, hogy idősoros adatok ábrázolására az oszlopdiagram a legalkalmasabb. A b) rész egyszerű százalékszámítás volt, ahol a kiindulási és a végső érték helyes értelmezése volt a kulcs. A c) rész már egy lépéssel tovább ment: exponenciális növekedést kellett modellezni, ami az utóbbi években egyre gyakrabban jelenik meg az érettségin. A megoldási elv sok diák számára ismerős lehetett, a nehézséget inkább az okozhatta, hogy a szövegből kiindulva helyesen felírják a modellt, és matematikai formába öntsék a növekedés leírását. A megoldáshoz elengedhetetlen volt a logramitus ismerete, ami szintén nem túl könnyű. A d) részben térgeometriai modellalkotás jelent meg, ahol egy valós helyzetet kellett leegyszerűsíteni és a megfelelő felszín kiszámításával megoldani. Az e) rész kombinatorikai gondolkodást kért: az volt a lényeg, hogy felismerjük, hogy különböző elemszámú kiválasztásokat kell összegezni a lehetséges cserék számának meghatározásához.

Ez a feladat nem amiatt volt nehéz, amit kérdezett, hanem amiatt, ahogyan kérdezte. Mivel azonban minden szükséges adatot megadtak, a számolás ugyan időigényes volt, de következetes munkával viszonylag könnyen be lehetett gyűjteni az összes pontot.

A 18. feladat egy klasszikus, több témakört összekapcsoló szöveges feladat volt, amely a hétköznapi kontextuson keresztül kérte számon a matematikai gondolkodást.

Az a) részben térfogatszámítás jelent meg, ahol egy téglatest méreteiből kellett literben meghatározni az űrtartalmat, majd megfelelően kerekíteni – itt fontos szerepet kapott a térfogat és az űrtatlom közötti kapcsolat.

A b) rész egy geometriai gondolkodást igénylő bizonyítás volt, ahol a testátló hosszát kellett értelmezni, és belátni elemi számolással, hogy egy adott hosszúságú tárgy nem fér el a megadott méretű csomagban.

A c) és d) részek egy lineáris növekedési modellt használtak, ahol az éves utasszám alakulását kellett nyomon követni és összesíteni. A d) részben az összegzéshez a legegyszerűbb megoldást a számtani sorozat összegképletének alkalmazása jelentette. Érdemes megjegyezni, hogy a korábbi években gyakran kértek számon mértani és számtani sorozatokhoz kapcsolódó ismereteket hasonló feladatokban, így ez a gondolkodásmód sokak számára ismerős lehetett.

Az e) rész valószínűségszámítási gondolkodást kért, ahol a kedvező esetek arányát kellett meghatározni egy konkrét, életszerű helyzetben.

A feladat jól mutatja, hogy a hosszabb szövegek és a több részkérdés lehetőséget adnak arra, hogy a diákok részpontokat gyűjtsenek az egyes alfeladatokból, hiszen minden rész külön értékelhető. Az érettségi így nem elsősorban azt méri, hogy valaki egy teljes feladatot hibátlanul végig tud-e vinni, hanem azt, hogy felismeri-e az adott helyzetben alkalmazható módszert, és képes-e azt következetesen végigvinni.

Mi a helyzet az új követelményekkel?

2024-től a 2020-as Nemzeti Alaptanterv (NAT) szerint tanuló diákok írják az érettségit, ezért folyamatos kérdés, hogy az új követelmények mennyire jelennek meg a feladatokban.

A 2020-as NAT-ra épülő új matematika-követelményrendszer célja az volt, hogy csökkentse a túlterhelést, és a gyakorlatban is használható tudást helyezze előtérbe. Több témakört egyszerűsítettek, miközben nagyobb hangsúlyt kaptak az adatelemzéshez és hétköznapi problémákhoz kapcsolódó feladatok. A módosítások egyik kritikája, hogy sok helyen nem teljes témakörök tűntek el, hanem azok egyszerűsített változatai maradtak meg. Ez azt eredményezheti, hogy bizonyos összefüggések kevésbé érthetők mélyen, inkább csak alkalmazási szinten jelennek meg, ami a matematika alapját, a gondolkodást és annak örömét csorbítja és redukálja a manualitásra.

Az idei feladatsorban is megjelentek az új hangsúlyok. Jó példa erre az első rész 6. feladata, amely a kvartilisekhez és az ezekből felépíthető diagramhoz kapcsolódott. A kvartilisek egy adatsor eloszlását írják le: négy részre osztják az adatokat, és segítenek megérteni, hogyan helyezkednek el az értékek egymáshoz képest. Ezeket gyakran egy úgynevezett dobozdiagrammal (boxplot, sodrófadiagram) ábrázoljuk, amely szemléletesen mutatja meg a minimumot, az alsó és felső kvartilist, a mediánt.

Ez a típusú ábrázolás a gyakorlatban is jól használható, például statisztikai adatok gyors összehasonlításánál. Az elmúlt években többször is megjelent az érettségin, bár korábban az eltérő elnevezések némi bizonytalanságot és felháborodást is okoztak a diákok körében.

Az idei feladat azonban inkább a helyes értelmezést kérte számon: egy adott diagramról kellett leolvasni néhány adatot, ami megfelelő rutin mellett kifejezetten gyorsan megszerezhető pontokat jelenthetett. Itt azok a diákok is előnyben voltak, akik a legfrissebb függvénytáblázatot használták, hiszen ezek a fogalmak már ott is megtalálhatók, jól rendszerezett formában. Ez a feladat jól példázza az új irányt: kevesebb hangsúly az elméleti levezetéseken, és több a gyakorlati értelmezésen.

Más, kifejezetten az új követelményrendszerhez köthető témák idén nem jelentek meg a feladatsorban. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a jövőben sem fognak, bármikor felbukkanhatnak, például a várható értékhez hasonló, újabban hangsúlyosabb területek is.

Mi történik, ha nem sikerül az elégséges jegy megszerzése?

A matematikaérettségi sajátossága, hogy középszinten alapból nincs szóbeli vizsga, sok diák örömére. Ha azonban az írásbeli eredménye nem éri el a 25 százalékot, de legalább 12 százalékot sikerül teljesíteni a maximális 100 pontból, akkor a szóbelin még javítható az eredmény. Ez sok diák számára második esélyt jelent.

A szerző a Rapid Edu matek-expertje, az ELTE-n végzett matematikus és okleveles matematikatanár, közel 10 éve tanít.

Kapcsolódó cikk a Qubiten:

Forrás