318. feladvány: Kedvezménykártyák

Egy üzlet a következő kedvezményt adja vásárláskor. Ötven egyforma hátoldalú kártyát kevernek össze, mindegyiken százalékos kedvezmény szerepel 1-től 50 százalékig, egyesével növekvő értékben, tehát minden kedvezményből pontosan egy kártya van. Ha valaki elkötelezte magát a vásárlás iránt, fizetés előtt két lehetőség közül választhat:

A: Véletlenszerűen kihúz két kártyát az ötvenből, és a nagyobbik kedvezményt felhasználhatja.
B: Véletlenszerűen kihúz öt kártyát az ötvenből, de a legnagyobb értékűt vissza kell adnia, a megmaradt négy közül pedig a legnagyobbat felhasználhatja.

A húzások visszatevés nélkül történnek. Csak egy kártya kedvezménye érvényesíthető. Meg lehet mondani, hogy átlagosan mekkora kedvezményt fog adni így a bolt?

Ha a vevők választásától függne az átlagos kedvezmény, akkor nem lehetne megmondani, de ha mindkét esetben egyforma az átlagos kedvezmény, akkor a vevők választása lényegtelen a bolt számára. Próbáljuk tehát belátni, hogy az átlagos kedvezmény mindkét esetben ugyanakkora! Ehhez pedig koncentráljunk a kihúzott értékek közti hézagokra!

A kedvezményszámokat képzeljük el egy számegyenesen, és tegyünk melléjük két segédpontot, a nullát és az 51-et. Ilyen módon két kihúzott szám három részre osztja a [0,51] szakaszt. Tegyük fel, hogy a kihúzott x és y szám közül x a kisebb. Ekkor a három részre osztott szakasz darabjainak hossza: x, y-x és 51-y. Könnyen belátható, hogy ezeknek a hézagoknak az átlagos hossza egyforma.

Hogyan lehet ezt belátni? Vegyünk egy tetszőleges D hézagtávolságot, a példa kedvéért legyen D = 10. Nézzük meg milyen (x,y) párok esetében lehet az első hézag nagysága D, mikor lehet a második hézag nagysága D, illetve a mikor lehet a harmadik hézag nagysága D. D = 10 esetén a bal oldali hézag ezeknél a pároknál lesz megfelelő nagyságú: (10,11), (10,12), …, (10,50). A középső hézag ezeknél: (1,11), (2,12), …, (40,50), a jobb szélső hézag pedig ezeknél: (1,41), (2,41), …, (40,41). Ezek mindegyike 40 darab lehetőség, és a különböző párok előfordulási valószínűségei egyformák. Tehát a hézagok egyforma valószínűséggel D nagyságúak, de ez minden D-re igaz, ezért az átlaguk is egyforma.

Mivel az 51 hosszú szakaszt osztjuk három részre, ezért az átlag 51/3 = 17. De a nagyobbik számig két hézagot lépünk, ezért az átlagos helye 2·17 = 34. Amikor öt kártyát húzunk, a helyzet hasonló, csak ott hat hézag keletkezik, ezért a hézagok átlagos hossza: 51/6 = 8,5, és a második legnagyobb számig négy hézagot lépünk, ezért az átlagos helye 4·8,5 = 34. Vagyis a várható kedvezmény értéke egyforma a két esetben. Ez azt jelenti, hogy a vásárló akármelyik lehetőséget is választja, a bolt hosszú távon ugyanakkora átlagos kedvezményt ad vásárlónként. A két választás csak a varianciában különbözik egymástól; ha valaki szeretné megadni a lehetőséget például az 50 százalékos kedvezménynek, akkor ne válassza a B lehetőséget, mert abban az esetben soha nem kaphatja meg.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is. Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre. Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás