287. feladvány: Katicabogár a poháron

Egy műanyag pohár fekszik a vízszintes földön. Egy katicabogár érkezik a pohár talpának legalsó (földön fekvő) pontjához, ahonnan a legrövidebb úton szeretne a pohár legmagasabb pontjára jutni. Milyen hosszú utat tesz meg, ha a pohár talpának átmérője d = 4,5 cm, a pohár peremének átmérője D = 7 cm, és a pohár magassága álló helyzetben H = 8,5 cm? Tegyük fel, hogy a pohár csonka kúp alakú, sima felülettel, a katicabogár pedig pontszerű.

Mennyivel több utat tenne meg a katicabogár, ha lokálisan törne mindig a legmagasabbra?

Terítsük ki a pohár palástját síkba!

Először számítsuk ki a pohár oldalának hosszát, azaz a csonka kúp alkotóját, amit nevezzünk b-nek. Ezt az ábrán látható piros háromszög segítségével kaphatjuk a b² = H² + (D/2-d/2)² összefüggésből (Pitagorasz-tétel), és b ≈ 8,6 cm adódik.

Ezután használjuk ki azt, hogy a kúpok és csonka kúpok palástja síkba teríthető. Ez könnyen belátható, ha fordítva gondolkodunk, vagyis belátjuk, hogy egy papírlapból kivágott körcikkből kúpot tudunk tekerni, egy körgyűrű cikkből pedig, mint amilyen az alábbi ábrán is látszódik kékes színnel, csonka kúpot. A kérdés az, hogy mik ennek a körgyűrű cikknek a paraméterei.

Ha térben tekintjük azt a kúpot, amiből a csonka kúpot csonkoljuk, akkor annak alkotója a+b, alapjának szélessége D. Annak a kúpnak pedig, amit levágunk a csonkolás során, az alkotója a, alapjának szélessége d. Mivel ezek hasonlók egymáshoz, hiszen azonos a nyílásszögük, ezért (a+b) : D = a : d. Ebből kiszámolhatjuk, hogy a = b·d/(D-d) ≈ 15,5 cm.

Azt is kiszámolhatjuk mekkora a kiterített palástnak a φ nyílásszöge, mégpedig abból, hogy a térbeli és kiterített ívek hosszát megfeleltetjük egymásnak. Ez alapján φ·a = π·d, amiből φ ≈ 52,4° adódik.

A katicabogár legrövidebb útja a kiterített paláston nyilvánvalóan az egyenes, arra kell csak ügyelni, hogy a térben átellenes pont a kiterített paláston a φ/2 szögnél van, illetve arra, hogy ez az egyenes tényleg a palástra esik-e végig. Bár a rajzon a szaggatott vonal úgy néz ki, hogy teljes mértékben a paláston (kékes terület) van, de lehet hogy nem teljesen méretarányos a rajz, ezért ezt utólag ellenőrizni kell majd.

Mindenesetre, ha a szaggatott egyenes út hosszát L-el jelöljük, akkor L kiszámolható a koszinusztétel alapján, egy φ/2 szögű háromszög szemközti oldalaként, hiszen adott a φ/2 szög melletti két oldal hossza. L-re kb. 12,3 cm adódik, és ennek ismeretében ellenőrizhetjük, hogy a szóban forgó háromszögben a szaggatott vonal felső végénél tompaszög van, ez ugyanis a garancia arra, hogy a szaggatott vonal nem metsz bele a sárga területbe. A tompaság pedig adódik abból, hogy (a+b)² nagyobb mint L² + a².

Végül pedig megnézhetjük, ha a katicabogár lokálisan törekedne adott sebességgel minél rövidebb idő alatt minél magasabbra jutni, akkor először a pohár talpán menne keresztbe, majd egy alkotó mentén, ami összesen 4,5 cm + 8,6 cm = 13,1 cm lenne, tehát körülbelül 7%-kal tenne meg többet a legrövidebb útnál, amit kiszámoltunk.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás