288. feladvány: Körök között

Egy kör sugara R. A kört egy adott irányba eltolunk R/2, R, (3/2)·R és 2·R távolsággal az ábrán látható módon. Azt is mondhatjuk, hogy két azonos sugarú kör érinti egymást, és közéjük egyenletesen elosztva berakunk még három ugyanakkora kört. A pirosra vagy a kékre színezett terület a nagyobb?

Hat kék és négy piros darab látható az ábrán. Könnyen belátható, hogy ezeknek a piros és kék daraboknak a szélessége mind ugyanakkora. Ki tudjuk ezt okosan használni?

Mivel a kék és piros darabok is tengelyesen szimmetrikusak, és egy piros bal fele a tőle balra lévő kék jobb fele alatt helyezkedik el, ezért a piros szélességének fele megegyezik a kék szélességének felével. Ha a piros alakzat feléből kettőt vennénk, és az nagyobb lenne, mint a kék alakzat feléből három, akkor azzal belátnánk, hogy a piros terület nagyobb a kéknél. Ha viszont ezeket az elemeket egymás alá rendezzük úgy, ahogy az alábbi ábra jobb oldalán is látható, akkor a teljes terület kiszámolása helyett elég lenne belátni azt, hogy ebben a helyzetben minden függőleges metszet nagyobb részt metsz ki a két pirosból, mint a három kékből. Ezt fogjuk belátni.

Az elemek szélességének fele R/4, és a függőleges metszeteket elegendő x = 0 és x = R/4 között vizsgálni, ahol x-et a berajzolt közös szimmetriatengelytől jobbra mérjük.

Nézzük előbb a kék alakzatot. Ennek a fölső határát az x² + y² = R² egyenlet adja meg. Az alsó határát egy R/2-vel eltolt körív adja meg, aminek az egyenlete (R/2-x)² + y² = R².

A piros alakzat felső határát az (R/4+x)² + y² = R² egyenlet adja meg, ha x-et itt is az alakzat szimmetriatengelyétől mérjük, ami most nem esik egyik kör középpontja fölé se, hanem pont két kör közé esik, ezért szerepel R/4 az egyenletben. A piros alsó határát pedig, az előző körhöz képest R-el eltolt kör íve adja, aminek az egyenlete: ((3/4)·R-x)² + y² = R².

Érdemes a távolságot R-ben mérni, vagyis R helyére mindenhova írhatunk 1-et, továbbá érdemes bevezetni az f(x) függvényt, ami 1-x² értékéből gyököt von. Ilyen módon a tengelytől x távolságra lévő vékony kék csík magassága f(x) – f(1/2-x), a piros csík magassága pedig f(1/4+x) – f((3/4)-x). Azt szeretnénk tehát belátni, hogy 0 ≤ x < 1/4 esetén:

2·[f(1/4+x) – f((3/4)-x)] > 3·[f(x) – f(1/2-x)].

Ezt természetesen numerikusan is be lehet látni, ha kirajzoljuk a két oldalt x függvényében, de analitikusan is be lehet látni, ha kihasználjuk, hogy tetszőleges a és b számra: (a – b)·(a + b) = a² – b², tehát (a – b) = (a² – b²)/(a + b). Mármost a vizsgálandó egyenlőtlenségben mindkét oldalon gyökök különbsége szerepel, amit a fenti formulával mindkét oldalon átalakíthatunk úgy, hogy gyökök különbsége helyett gyökök összege jelenjen meg a nevezőben, miközben a számlálóban eltűnnek a gyökök, és jelentősen egyszerűsödik is a számláló, például kiesnek az x²-es tagok. Végülis egyszerűsítés az alábbi adódik:

4·(1/4-x) / [f(1/4+x) + f((3/4)-x)] > 3·(1/4-x) / [f(x) + f(1/2-x)],

és mivel (1/4-x) pozitív, ezért ez még tovább egyszerűsödik, ha mindkét oldalt elosztjuk vele. A nevezőkben szereplő f függvények is pozitívak, tehát a bizonyítandó az, hogy:

4·[f(x) + f(1/2-x)] > 3·[f(1/4+x) + f((3/4)-x)].

Ehhez elég belátni az erősebb egyenlőtlenséget, ahol elhagyjuk a 4-es és 3-as szorzókat:

f(x) + f(1/2-x) > f(1/4+x) + f((3/4)-x).

De az f(x) függvény monoton csökkenő függvény, hiszen a körívet írja le a csúcspontjától indulva, ezért f(x) > f(1/4+x) és f(1/2-x) > f((3/4)-x) teljesül, ahol felhasználtuk, hogy x < 1/4+x és 1/2-x < 3/4-x.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Forrás