A 2025-ös év több szempontból is különleges volt, elég ha csak az évszámot nézzük, ami négyzetszám, és a legtöbb ember életében az egyetlen, hiszen 89 éve volt utoljára négyzetszám, és 91 év múlva lesz majd újra. A 2025 ráadásul nem is akármilyen négyzetszám, ugyanis pont a tízes számrendszerben használt számjegyeink összegének a négyzete:

(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)2 = 2025.

Ennek folyománya egyébként, hogy a tízes szorzótábla számainak összege is pont 2025. De ha már négyzetszámokról volt szó, nézzük meg azt is, hogy a köbszámokkal hogyan lehet kikombinálni a 2025-öt.

278. feladvány: Köbösszeg

Hányféleképpen lehet a 2025-öt felírni különböző pozitív egész számok köbeinek összegeként?

Egyféleképpen biztos, mert

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ = 2025.

Legyen M a legnagyobb szám, aminek a köbe szerepel az összegben. Mivel

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ = 2025,

ezért M = 9 esetén pontosan ez az egy megoldás van, hiszen itt minden 9-nél kisebb pozitív szám szerepel, ami csak lehetséges, és éppen ezért M nem lehet 9-nél kisebb, mert bármit kihagyva a fenti köbösszegből az már kisebb lesz, mint 2025.

Másrészt viszont M nem lehet 12-nél nagyobb, mert 13 köbe 2197, ami már nagyobb, mint 2025. Tehát az a kérdés, hogy M = 10, 11 vagy 12 esetén van-e még megoldás.

M = 10 esetén a maradék, amit köbösszegként kéne előállítani:
2025 – 10³ = 2025 – 1000 = 1025.

M = 11 esetén a maradék, amit köbösszegként kéne előállítani:
2025 – 11³ = 2025 – 1331 = 694.

M = 12 esetén pedig a maradék, amit köbösszegként kéne előállítani:
2025 – 12³ = 2025 – 1728 = 297.

A kérdés tehát az, hogy 297, 694 vagy 1025 előáll-e különböző pozitív köbszámok összegeként. Amikből pedig építkezni lehet, azok az 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

Nézzük a 297-et. Ha a 216-ot használjuk, akkor a maradék 297 – 216 = 81, amit nem tudunk előállítani az 1, 8, 27, 64 számok semmilyen kombinációjával. 216 nélkül viszont a maximum 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225.

Hasonló módszerrel könnyen végigzongorázható, csak picit hosszabban, a 694 és az 1025 is, és egyik sem tud előállni különböző pozitív köbszámok összegeként.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az [email protected] e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás