1684 januárjában három angol tudós, Edmond Halley, Christopher Wren és Robert Hooke – minden valószínűség szerint egy londoni kávéházban – azon vitatkozott, hogy abban az esetben, ha a Nap vonzereje (bár az erő akkor még nem volt pontosan definiált fogalom) a távolság négyzetével fordítottan arányosan gyengül, akkor milyen pályán kéne keringeniük a bolygóknak. Tycho Brahe évtizedes méréseiből Kepler ugyan kihámozta, hogy a bolygók ellipszis alakú pályákon vagy legalábbis nagyon jó közelítéssel ellipszis alakú pályákon keringenek, de ez egy megfigyelés volt, nem pedig elvekből történő levezetés. A gravitációs vonzóerőnek a távolság négyzetével fordítottan arányos gyengülése ekkoriban már – részben éppen Kepler harmadik törvényéből adódóan – feltételezhető volt, ezért mindhárom tudóst az izgatta, hogy levezethetők-e ebből az elliptikus pályagörbék. Wren díjat is kitűzött – egy negyven shillinget érő könyvet – annak, aki két hónapon belül előáll egy bizonyítással, bár Hooke váltig állította, hogy neki már megvan, csak épp nem mutatja meg, hadd szenvedjenek mások is.

A díjat senki nem vitte el. Halley végül augusztusban Cambridge-be utazott, és feltette a kérdést a kor legkülönösebb elméjének, Isaac Newtonnak, aki gondolkodás nélkül rávágta: ellipszis. Newtonról tudni kell, hogy egy 1672-es tanulmánya a fényről és a színekről kiváltotta Hooke és mások kritikáját, és ez az élmény olyan mély nyomot hagyott benne, hogy attól kezdve az asztalfióknak dolgozott és került minden nyilvános vitát. Eredményeinek tekintélyes része ott hevert a papírjai között, és nem is szándékozott őket publikálni. Az ellipszispályát is rég kiszámolta már, csak épp nem találta Halley látogatásakor, de újra levezette, és pár hónappal később elküldte Halley-nek a bizonyítást. Halley azonnal felismerte, hogy ez a néhány oldal nagyon nagy jelentőségű, és addig győzködte Newtont, hogy publikálja eredményeit, míg végül Newton elvonult a világtól és 18 hónapon keresztül éjjel-nappal megszállottan dolgozott, hogy mindent egy átfogó műben jelentessen meg, ez lett a Principia három kötete, a tudomány történetének talán legfontosabb könyve: egyetlen egységes rendszer, amely a mozgástörvényekből és az általános tömegvonzásból egyszerre vezeti le a hulló testek, az árapály, az üstökösök és a bolygópályák viselkedését – melynek kinyomtatását egyébként Halley a saját zsebéből fizette, mert a Royal Society abban az évben teljes kiadói büdzséjét elverte egy pompás halenciklopédiára.

Ezzel a pillanattal Keplernek a megfigyelésekből kihámozott törvényei megszűntek rejtélyes égi szabályok lenni: egyetlen egyszerű erőtörvény matematikai következményei lettek, és velük együtt megszületett a mechanika teljes leírása is. Lényegében ez volt az elméleti fizika születésének pillanata, a Newton által – Leibnizcel párhuzamosan – kifejlesztett differenciál- és integrálszámítással együtt pedig a tudományos forradalom betetőzése. Bár a kalkulust Newton a háttérben ekkor már használta, a bizonyításokat mégis a klasszikus geometria nyelvén írta le, mert ebben a korban még ez volt a mérce.

Ugorjunk 280 évet. 1964. március 13-án a Caltech elsőévesei vendégelőadást hallgathattak Richard Feynmantól – a huszadik század egyik legkarizmatikusabb fizikusától, aki a rá következő évben kapta meg a Nobel-díjat. Az előadás címe ez volt: A bolygók Nap körüli mozgása. Feynman arra a bravúrra vállalkozott, hogy Newton eredményét, vagyis a fordított négyzetes erőtörvényből az ellipszispályák levezetését, tisztán elemi geometriával mutassa meg. Eleinte a Principia nyomdokain haladt, ám ő sem tudta mindenhol követni, ezért néhány ponton saját frappáns levezetést dolgozott ki. Ez az előadás aztán kimaradt a legendás Feynman-előadássorozat köteteiből, és évtizedekre elkallódott. A hangfelvétel fennmaradt ugyan, de a táblarajzokról készült fotók nem kerültek elő. Az anyagra 1992-ben Judith Goodstein, a Caltech levéltárosa bukkant rá, a teljes gondolatmenetet pedig férje, David Goodstein fizikus rekonstruálta nagy alapossággal, valóságos tudománytörténeti nyomozással. Ebből született a Feynman elveszett előadása című könyv, amely magyarul a Typotex Kiadónál jelent meg: egyszerre detektívtörténet, Feynman-portré, tudománytörténeti összefoglaló és egy zseniális geometriai bizonyítás gazdagon illusztrálva. Középiskolás geometriával követhető, sőt talán túl is van néhol magyarázva, diákok és tanárok egyaránt sokat meríthetnek belőle.

A bizonyítás két szép geometriai felismerést használ ki. Az egyik az úgynevezett hodográf: ha a pálya minden pillanatához tartozó sebességvektort egy közös pontból mérünk fel, a vektorok hegye egy görbét rajzol ki, amely bolygómozgás esetében, meglepő módon, egy tökéletes kör lesz. Ebből a rejtett körből húzza elő Feynman az egész ellipszist, mint bűvész a nyulat. Ehhez pedig az ellipszis tükörtulajdonságát használja, vagyis azt, hogy az egyik fókuszból induló fénysugár a görbéről visszaverődve pontosan a másik fókuszon halad át. Ebből a tulajdonságból ered egyébként maga a szó is, a fókusz kifejezést ugyanis Kepler vezette be, latinul tűzhelyet jelent, vagyis minden valószínűség szerint egyfajta gyújtópontra utal, ahol a fénysugarak összegyűlnek és tüzet fognak. A név aztán prófétainak bizonyult: öt évvel később Kepler kimondta, hogy a bolygópályák egyik fókuszában maga a Nap ül. Ha viszont már tűzhelyről van szó, akkor derítsük ki e heti feladványunkban, hol lesz igazán forró egy ellipszis alakú tükörterem fala.

310. feladvány: Villanás a fókuszpontban

Egy ellipszis alakú tükörterem egyik fókuszpontjában egy pillanatra felvillan egy pici lámpa, és fénye a terem síkjában minden irányban szétsugárzik. Az ellipszis alakú terem falairól a fény visszaverődik, és az ellipszis ismert tulajdonsága révén a másik fókuszpont felé haladnak, majd azon áthaladva újra visszaverődnek a kiinduló fókuszpont felé. A villanás minden fotonja tehát pattanásról pattanásra felváltva halad át a két fókuszponton. A tükör nagyon jó minőségű, de nem tökéletes, ezért minden visszaverődésnél a fény egy pici hányada elnyelődik, így néhány tucat pattanás után gyakorlatilag az összes foton elnyelődik valahol a falban. De vajon hol? Egyenletesen kapja a sugárzást a terem fala?

Vizsgáljuk meg a fénysugarak viszonyát a főtengelyhez képest!

A fal két apró darabkája nyeli el szinte a teljes energiát: a nagytengely két végpontja körüli szűk környezet, nagyjából fele-fele arányban. Bármerre is indul egy foton, a pályája rohamosan a nagytengelyre simul, azaz egyre laposabb szögben metszi a pálya a főtengelyt, a pattanási pontjai pedig a tengely két végéhez torlódnak, lásd az alábbi animációt. Ha 𝜑-vel jelöljük a fénysugár és a főtengely által bezárt szöget, akkor be lehet látni, hogy tan(𝜑/2) minden tükröződés után k = (1-e)/(1+e) faktorral változik, ahol e az ellipszis 1-nél kisebb excentricitása. Mivel ezen képlet alapján, az e = 0 esettől, azaz a körtől eltekintve, k < 1, ezért 𝜑 valóban 0-hoz fog tartani. Az excentricitás meghatározza, hogy a fókuszpont a fél nagytengely hányad részével van eltolva a középponthoz képest. Az alábbi ábrán például e = 1/2, amiből k = 1/3, tehát tan(𝜑/2) minden ciklusban harmadolódik.

Hogyan lehet belátni, hogy tan(𝜑/2) k-szorosára változik minden tükröződésnél? Legyen egy tükröződési pont P, a fókuszpontok F₁ és F₂. Ekkor az F₁PF₂ háromszögben az egyik fókuszpontnál lévő szög az új 𝜑, míg a másik fókuszpontnál lévő szög kiegészítő szöge, azaz külső szöge a régi 𝜑. Ha a háromszög nem P-nél lévő szögeit α-val és β-val jelöljük, akkor a háromszögre felírva a szinusz-tételt, továbbá figyelembe véve az ellipszis azon tulajdonságát, hogy az F₁P és PF₂ szakaszok hosszának összege 2a, ahol a-val jelöljük a fél nagytengely hosszát, akkor azt kapjuk, hogy sin α + sin β = sin(α+β)/e, ahol felhasználtuk még azt, hogy e = c/a, ahol c a fókuszpontok távolsága a középponttól.

Ezután némi trigonometriai átalakítással belátható, hogy tan(α/2)·tan(β/2) = (1−e)/(1+e) = k. Ez tehát az ellipszis minden pontjában érvényes, lényegében az ellipszis szögekkel való leírásának is tekinthető. Ahogy a P pont körbejár, α és β folyton változik, de a félszögek tangensének szorzata állandó. A régi 𝜑 viszont nem α vagy β, hanem az egyiknek a kiegészítő szöge. Ha viszont felhasználjuk az ismert tan(90°-x) = 1/tan(x) összefüggést, akkor megkapjuk azt, amit bizonyítani szerettünk volna, nevezetesen: tan(𝜑_új/2) = k·tan(𝜑_előző/2).

Miért laposodnak el a sugarak? Az első pattanás után a tükröződési törvényre nincs is szükség: mivel minden szakasz fókuszon megy át, a fény útját vonalzóval szerkeszthetjük — a pattanási pontból egyenest húzunk a másik fókuszon át a falig, és ezt ismételjük. Ebből a szabályból pedig már látszik a laposodás mechanizmusa. Nézzünk egy pattanást a jobb csúcs közelében, a tengely fölött kicsiny y magasságban! A bejövő szakasz a közeli fókusz felől jött, vízszintesen nagyjából a−c távolságból, a kimenő a távoli fókusz felé megy, nagyjából a+c messzire. A meredekségük tehát körülbelül y/(a−c), illetve y/(a+c): minden pattanás nagyjából (a−c)/(a+c)-szeresére laposítja a pályát, ami éppen az ellipszis legkisebb és legnagyobb fókusztávolságának aránya — égi megfelelőjén a perihélium- és aféliumtávolság hányadosa.

Az animációban látható e = 0,5 excentricitású teremben k = 1/3, azaz a felezőszög tangense minden pattanásnál harmadolódik. A szögek sorra ebben az esetben: 60° → 21,8° → 7,3° → 2,5° → 0,8° → 0,3° → … A sorozat nagyon gyorsan, tipikusan öt-hat pattanás után 1° alá csökken, tíz pattanás után pedig már műszerrel is megkülönböztethetetlen lesz a nagytengelyen való oda-vissza pattogástól. Természetesen mindez csak az egzaktul a fókuszpontban felvillanó fényre igaz.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is. Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre. Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás