285. feladvány: A filantróp kockajátéka

Tegyük fel, hogy MrBeast a következő játékot ajánlja fel két matematikusnak.

Mindketten egy szabályos hatoldalú kockával dobnak. Ha valaki 1-est dob, az eredménye 0. Ha viszont nem 1-est dob, akkor dönthet, hogy elfogadja a dobott értéket mint eredményt, vagy újradob. Újradobni bármennyiszer lehet, de 1-es után meg kell állni, és az eredmény 0. Miután mindketten befejezték a dobásukat, MrBeast annyiszor tízezer dollárt tesz egy táskába, amennyi a dobásaik összege. A játék végén ha valaki a másiknál többel járult hozzá a táska tartalmához, az elsétálhat a táskával.

A két játékos egymástól függetlenül dönt, azaz nem látják egymás dobását, és annak sincsenek tudatában, hogy a másik hányszor dob újra, de a játék előtt mindkét matematikussal külön beszélgetnek. Az egyiküknek nagyon rossz napja volt, reggel kiszakadt a nadrágja, magára öntötte a kávét, és lekéste a buszt, ezért ő elmondja, hogy abban az esetben, ha nem 1-est dob, akkor biztos azonnal megáll, nem akar kockáztatni.

A másik matematikus elmondja a kamerába, hogy ő már kiszámította, hogy a dobás várható értékének maximalizálásához mi az optimális stratégia, és aszerint fog játszani.

A Youtube-on nézi ezt a kollégájuk, aki szintén matematikus. Hallva, hogy mik a stratégiák, azt mondja, hogy hiába nagyobb az optimális stratégiával játszó matematikus dobásának várható értéke, mégsem fogja 50%-nál nagyobb valószínűséggel megnyerni a pénzt. Igaza van?

Ebben a játékban nem igaz, hogy ha veszítesz, akkor a másik biztosan nyer. Mi következik ebből?

Hogy lehet az, hogy az egyik matematikus átlagosan jobbakat dob, mégsem nyer többet, mint az esetek fele? Úgy, hogy többször nyer ugyan, mint a másik, de előfordulhat döntetlen is, amikor senki nem viszi el a táskát! Nézzük meg ebben az esetben mi a helyzet.

Vizsgáljuk meg először, hogy mi a várható értéket optimalizáló stratégia. Fontos megállapítás, hogy abban az esetben, ha újra dobunk, ugyanolyan helyzetbe kerülünk vissza, tehát az optimális stratégia nem függhet attól, hogy előtte hányszor dobtunk már újra, hiszen a kockának nincs emlékezete.

Ha egy adott értéket érdemes elfogadni, akkor nyilván minden nagyobbat is érdemes elfogadni. Egy adott stratégiát tehát az jellemez, hogy mekkora kockadobás az, amit már elfogadunk és nem dobunk újra. Eszerint ötféle stratégia lehet. Ezekre végigszámolhatnánk a várható értékeket, és megnézhetnénk, hogy melyik a legjobb.

Egy másik trükkös lehetőség, hogy kihasználjuk, hogy újradobás után ugyanolyan helyzetbe kerülünk vissza, ezért az optimális stratégia szerinti várható nyereményre felírhatunk egy konzisztencia-egyenletet.

Tegyük fel, hogy az optimális stratégia szerinti várható nyeremény V. 1/6 eséllyel dobunk 1-et, amikor is 0 nyeremény. Ha viszont k nagyobb 1-et dobunk, akkor kiszállhatunk k-val, vagy továbbmehetünk, és akkor a várható nyeremény V. Hogy érdemes-e továbbmenni, az határozza meg, hogy k vagy V a nagyobb. Ilyen módon a V-re ezt az egyenletet írhatjuk fel, a várható érték definíciójából (valószínűségekkel súlyozott értékei a lehetséges kimeneteleknek): V = (1/6)*0 + (1/6)*max(1,V) + (1/6)*max(2,V) + (1/6)*max(3,V) + (1/6)*max(4,V) + (1/6)*max(5,V) + (1/6)*max(6,V).

Ha feltesszük, hogy V 3 és 4 közé esik, akkor kapunk a fenti egyenlet alapján V-re konzisztens eredményt: V = 15/4 = 3,75. Tehát az optimális stratégia az, hogy 2-nél és 3-nál újradobunk, afölött elfogadjuk.

Mármost nézzük, hogy ez a stratégia hogyan teljesít a játékban az újradobás elleni stratégiával? Az egyik matematikus esetében mindennek 1/6 a valószínűsége. Az optimális stratégia esetén 2-nél és 3-nál soha nem állunk meg, a maradékból pedig egyik se kitüntetett a kocka számára (se a stratégiánk számára), ezért 1! valószínűséggel 0, 4, 5, vagy 6 lesz a vége.

Ha ezután a lehetséges párosításokat végigszámoljuk, akkor azt találjuk, hogy 50 százalékban nyer az optimális stratégia, 1/3-ban veszít, és 1/6 a valószínűsége a döntetlennek. A félős stratégia tehát valóban rosszabb, de ettől még a jobb stratégiával játszó matematikus nem fog tudni 50 százaléknál nagyobb valószínűséggel elsétálni a pénzel teli bőrönddel.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás