294. feladvány: Prímszámokkal súlyozott prímszámok

Mi a legkisebb prímszám, ami előáll két prímszám prímszámokkal súlyozott átlagaként, ahol minden említett prímszám: a két alapszám, a két súly és az eredmény is szigorúan különböző prímszámok? Vagy talán nincsenek is ilyen prímszámok?

Megjegyzés: A súlyozott átlag számítása olyan átlagszámítási módszer, ahol az egyes értékek különböző fontossággal (súllyal) bírnak. Ez nem az egyszerű számtani közép, hanem az értékek és súlyok szorzatainak összege osztva a súlyok összegével. Ilyen például az, amikor az iskolában egy témazáró dolgozat mondjuk háromszorosan számít, azaz 3-as a súlya, míg egy szimpla házi feladat 1-es súllyal számít bele az év végi jegybe.

Próbáld kizárni a legkisebb prímszámokat!

Legyen a keresett prímszám P, ami súlyozott átlaga a nála kisebb p1 és nála nagyobb p2 prímszámoknak, mégpedig a w1 és w2 súlyokkal, amik maguk is prímszámok. A súlyozott átlag képlete szerint: P = (w1·p1 + w2·p2)/(w1 + w2). Ebből adódik, hogy P·(w1 + w2) = w1·p1 + w2·p2, amit tovább alakítva w1·(P – p1) = w2·(p2 – P). Mivel w1 osztja a bal oldalt, osztania kell a jobb oldalt is, de a jobb oldalon w2 egy w1-től különböző prím, ezért w1 csak a (p2 – P) tagot oszthatja. Hasonlóan w2-nek pedig a (P – p1) tagot kell osztania. Ez azt jelenti, hogy van egy olyan k pozitív egész szám, hogy p2 – P = k·w1, és ugyanerre a k számra igaz, hogy P – p1 = k·w2.

Ezt a megállapítást felhasználva megvizsgálhatjuk a kisebb prímeket. Elég a 2-nél nagyobb prímeknél kezdeni, hiszen 2 a legkisebb prím, tehát nem lehet két tőle különböző prím súlyozott átlaga, hiszen akkor az egyiknek kisebbnek kéne lennie nála. Ha viszont P = 3, akkor a p1 csak 2 lehet, vagyis P−p1= k·w2 = 1, de ez nem lehet, ha w2 prím, ráadásul 3-nál nagyobb.

Ha P = 5, akkor p1 = 2 vagy p1 = 3 lehet csak. Az első esetben P−p1= k·w2 =3, ami csak úgy lehetséges, hogy w2= 3 és k = 1, tehát p2 – P = w1. De ez nem lehet mert itt mindegyik páratlan prím, két páratlan szám különbsége viszont páros.

Nézzük a másik esetet, amikor P = 5 és p1 = 3, ekkor P−p1= k·w2 = 2, ami csak úgy lehet, ha w2=2 és k=1, ekkor viszont megint az adódik, hogy p2 – P = w1, ahol nem lehet mindegyik páratlan prím, márpedig w2=2 miatt más lehetőség nincs.

Mindezek alapján a legkisebb prím, ami szóba jöhet P = 7, erre viszont van megoldás: p1 = 3 és p2 = 17, a w1 = 5 és w2 = 2 súlyokkal.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás