301. feladvány: A fogkrémes tubus

A fogkrémes tubust csőből készítik: egyszerűen összelapítják az egyik végét, lényegében mintha lehegesztenék egy vonal mentén. Hasonlítsuk össze az így kapott tubus térfogatát az ugyanolyan hosszú henger térfogatával. Becsüljük meg, hányadrésze lehet a tubus térfogata a henger térfogatának!

Feltehetjük, hogy amikor a cső végét lehegesztik, az anyag nem nyúlik meg, csak összelapul. Ez azt jelenti, hogy a tubus keresztmetszetének kerülete mindenhol ugyanakkora marad. A kérdés csak az, hogy milyen alakú a keresztmetszet.

Amikor a hengert elkezdjük összelapítani, az anyag ellenáll, és a tubus éle, azaz a keresztmetszetek két vége próbál minél kerekebb maradni, míg a középső rész kiegyenesedik. Ezért jó közelítés az, hogy a keresztmetszetek alakja olyan lesz, mint a futópálya. Ez az ún. stadion- vagy futópályagörbe (stadium), ami tehát egy téglalap, aminek két szemközti éle félkörökkel van helyettesítve.

Vágd a tubust több részre!

A tubus egyik vége tökéletes kör, a másik vége egy szakasz, aminek a hossza a kör kerületének fele. A kettő között jó közelítés az, hogy a keresztmetszet mindehol egy futópályagörbe (lásd az indoklást az első tippnél), aminek a kerülete a kör kerületével megegyező.

Minden keresztmetszeti réteget szétválaszthatunk egy téglalapra és a téglalap két végén lévő félkörre. Ha ilyen módon felvágjuk a tubust az alábbi ábra szerint, akkor középen kapunk egy tetraédert, a két szélén pedig fejjel lefele ferde félkúpokat.

Ha a kúpok rétegeit vízszintesen elcsúsztatjuk, attól a térfogat nem fog változni, és a két kék részből ilyen módon össze tudunk állítani egy kúpot. A kúp térfogata pedig az ugyanolyan alapterületű és ugyanolyan magas henger térfogatának harmada.

A középső narancs színű tetraédert is még két részre vághatjuk egy hosszanti vágással az alábbi módon. A vágási felület egy magas háromszög, aminek a magassága a tubus hossza (H), a rövid oldala pedig a kör átmérője (D), tehát a területe D·H/2.

A függőleges vágási felületre viszont merőleges a lehegesztett él, ha tehát a kettévágott tetraédert eldöntjük úgy, hogy a vágási felület legyen az alapja, akkor a lehegesztett él fele lesz ennek a fél tetraédernek a magassága. A lehegesztett él hosszának fele D·π/4, amiből tehát a fél tetraéder térfogata: [D·H/2]·[D·π/4]/3, a teljes tetraéder térfogata pedig ennek a kétszerese, azaz D²·H·π/12. Ez viszont pont ugyanannyi, mint a kúp térfogata, Összességében tehát a tubus teljes térfogata a henger térfogatának 2/3 része.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás