306. feladvány: Sókeverékek

Van két egyforma 0,5 literes poharunk, mindkettő három deciliterig töltve – az egyik durva szemcsés himalájai sóval, a másik finom szemcsés konyhasóval. A konyhasóból kiveszünk egy decit, és alaposan összekeverjük a három deci himalájai sóval. Ezután kiveszünk a keverékből egy decit, visszaöntjük a maradék konyhasóhoz, és azt is jól megkeverjük. A végén melyik pohárban lesz magasabban a só szintje? Vagy egyforma marad? És számít-e, hogy melyik pohárból merítünk először?

Gondold végig: mekkora helyet foglal el külön a durva meg a finom só, és mekkorát, ha összekeverjük őket.

Elsőre az ember azt gondolná: egy decit kiöntünk, egy decit visszaöntünk, tehát mindkét pohár tartalmának vissza kell állnia az eredeti térfogatára. Ez többnyire így is lenne folyadékok esetében, de nem ez a helyzet különböző szemcseméretű granuláris anyagok esetében.

Amikor a finom és durva sót összekeverjük, a kis szemcsék beülnek a nagyok közötti üres hézagokba. Így a keverék kevesebb helyet foglal, mint a két adag külön-külön. A művelet végén mindkét pohárban keverék lesz, ezért mindkettő a háromdecis szint alá süllyed. Amikor az első összeöntést végezzük, akkor négy deci sót kezdünk el keverni, ami keverés közben összetömörödik, és amikor a keverékből kiveszünk egy decit, akkor három decinél kevesebb fog maradni. Amikor a második összeöntést csináljuk, akkor három deciből indulunk, de keverés után abból is kevesebb lesz.

Végeredményben mindkét pohárban csökken a só űrmértéke, de mennyivel? Lehet, hogy pont egyforma mértékben? Nem egészen: a tömörödés mértéke nem lesz egyforma a két pohárban. A legtömöttebb állapot akkor jön létre, ha több a durva, mint a finom: nagyjából háromnegyed rész durva. Ezt az arányt a tömör gömbkitöltésből tudjuk becsülni. Gömbök véletlenszerű szoros pakolása nagyjából 64%-os térkitöltést eredményez. A durva anyag hézagai tehát ilyen szoros kitöltés esetén 36%-ot tennének ki. De a hézagon belüli finom anyag szintén granuláris, vagyis a hézagnak csak legfeljebb a 64%-át tudja kitölteni, ami a teljes térfogatnak 0,36 × 0,64 ≈ 0,23-ed része. Ebből a keresett arány 64:23.

Esetünkben a kezdetben durva sót tartalmazó pohárba pont 3:1 arányú keverék készül, ami közel van ehhez az arányhoz, vagyis a lehető legjobban tömörödik, ezért ebben a pohárban lesz alacsonyabb a só szintje, és a finom sós pohárban lesz magasabban. Ha az átmerést fordítva kezdjük, akkor is ugyanez lesz a helyzet, csak a szintkülönbség mértéke lehet más.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás