A Babylon nevű építőjátékot bizonyára sokan ismerik gyerekkorukból. A 80-as évekbeli második kiadása már Babilon néven futott. A játék színes műanyag golyókból és rudakból áll, amelyekből a legkülönfélébb síkbeli és térbeli alakzatokat építhetjük meg.

321. feladvány: Babylon hatágú csillaga

A Babylon építőjáték golyóinak felületén lyukak vannak, amikbe pálcikákat szúrhatunk. A pálcikák beszúrás után radiálisan állnak a golyókból kifelé, azaz a gömbfelületre merőlegesen. Egy golyón 26 lyuk található. Ha a golyókat kis földgömbnek képzeljük, ahogy azt az alábbi ábra mutatja, akkor egy-egy lyuk található az Északi- és a Déli-sarkon, 8 az Egyenlítőn egyenlő közönként, és 8-8 pontosan fölöttük és alattuk a 45 fokos északi és déli szélességi körökön.

A golyókba rudakat szurkálva könnyű szabályos nyolcágú csillagot készíteni, akár az Egyenlítő, akár valamely hosszúsági kör mentén. Azt viszont kevesebben tudják, hogy hatágú csillagot is lehet készíteni, ez szerepel például Varga Tamás Játsszunk matematikát! című könyvében is, amely kiváló kiadvány a matematika játékos felfedezéséről.

Ha valaki kipróbálja, hogy rudat szúr az Egyenlítő két átellenes pontjába, majd e két pont között elhelyezkedő felezősíkra szimmetrikusan a 45 fokos északi szélességen két másodszomszédos pontba (lásd a sárga pöttyöket), majd ezek túloldali párjaiba is a déli 45 fokos szélességi körön, akkor jól látható lesz a hatágú csillag, De vajon tényleg egy síkban lesznek ezek a rudak, és szabályos lesz a csillag? Mutassuk meg, hogy valóban 60 fokot zárnak be egymással a rudak!

Vetítsük az egyik 45°-os szélességi körön található lyukat először az Egyenlítő síkjára, majd a kapott pontot az egyik egyenlítői rúd egyenesére.

Először tisztázzuk az irányokat! Egy gömb valamely lyukának helyzetét két szöggel adhatjuk meg. Az egyik a dőlésszög, amely megmutatja, hogy az irány mennyire emelkedik az egyenlítő síkja fölé, vagy mennyire süllyed alá. A másik az elfordulási szög, amelyet az egyenlítő mentén, egy választott kezdőiránytól mérünk. A dőlésszög tehát a mi esetünkben 0° (egyenlítő pontjai), +45° vagy −45° lehet, az elfordulási szög pedig 45° egész számú többszöröse.

Jelöljük a golyó középpontját O-val, a hat lyuk pozícióját, azaz a rudak irányát pedig rendre A, B, C, D, E és F betűkkel. Ha elsőként a dőlésszöget, másodikként pedig az elfordulási szöget adjuk meg, akkor ezek a pontok az alábbi módon jellemezhetők: A: (0°; 0°), B: (+45°; 45°), C: (+45°; 135°), D: (0°; 180°), E: (−45°; 225°), F: (−45°; 315°). Az ábrán ezekből balról jobbra haladva az A, B, C, D pontok látszanak sárga pöttyel jelölve. Amit pedig nem látunk az a B ponttal szemközti E pont, és a C ponttal szemközti F pont. Szemközti alatt azt értjük, hogy az O-ra vett középpontos tükörkép, tehát BE és CF éppen a gömb átmérője, vagyis BE és CF felezőpontja a gömb O középpontja.

Mármost, tekintettel arra, hogy BE és CF egyenesek áthaladnak a gömb O középpontján, ez a két egyenes egy síkot határoz meg. Mivel pedig B és C azonos szélességi körön helyezkednek el, és hosszúságuk 45°, illetve 135°, a BC egyenes párhuzamos az AD egyenlítői átmérővel. Így az O-n átmenő AD egyenes is ebben a síkban van. Tehát a hatágú csillag minden ága tényleg egy síkba esik.

Ezen kívül a szimmetria miatt az AOB, COD, DOE és FOA szögei a csillagnak egyenlők, és ugyancsak egyenlő a két közbülső szög: BOC és EOF. Vagyis a kérdés csak az, hogy ezek egymással is egyenlők-e. Ehhez pedig elegendő megmutatni, hogy például az AOB szög 60°-os, vagyis azt kell megmutatnunk, hogy az AOB háromszög szabályos, azaz minden oldala egyenlő. Ehhez elég megmutatni, hogy OB és AB szakaszok hossza egyforma, hiszen OA és OB szakaszok hossza egyenlő, tekintettel arra, hogy mindkettő a gömb sugara.

Ennek belátásához használjunk két egymás utáni merőleges vetítést. Először vetítsük le a B pontot függőlegesen az egyenlítő síkjára. A vetület legyen N. Ezután N-et vetítsük merőlegesen az OA egyenesére, vagy ha úgy tetszik az AD egyenesre, és ezt a vetületet jelöljük M-mel.

Az OBN derékszögű háromszögben az OB szakasz 45 fokos szöget zár be az Egyenlítő síkjával. Ezért az OBN háromszög derékszögű és egyenlő szárú. Pitagorasz tétele szerint: OB² = 2 · ON². Az ONM háromszögben az ON szakasz 45 fokos szöget zár be az OA egyenessel, hiszen B elfordulási szöge éppen 45 fok. Így ez a háromszög is derékszögű és egyenlő szárú, tehát: ON² = 2 · OM². (A négyzetre emelések a szakaszok hosszára vonatkozik.)

A két összefüggést egymásba helyettesítve: OB² = 4 · OM², amiből OM = OB/2 = OA/2. Vagyis M éppen az OA szakasz felezőpontja. De M nemcsak N-nek, hanem B-nek is a merőleges vetülete az OA egyenesére, hiszen a B-t egyből is vetíthettük volna OA-ra. Ilyen módon a BOM és BAM derékszögű háromszögeknek így közös a BM befogójuk, másik befogójuk pedig egyenlő, hiszen OM = MA. A két háromszög tehát egybevágó, ezért BO = BA, amit be akartunk látni.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is. Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre. Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás