316. feladvány: Az elmetszett papírcső

Készítsünk papírból hengert, azaz tekerjünk fel egy papírt – akár többrétűen – üreges csővé, majd szike segítségével egy gyors mozdulattal metsszük el ferdén a hengert! Nem kell igazából megcsinálni, de ha mégis, akkor vigyázzunk a kezünkre, nehogy megvágjuk magunkat! Milyen lesz a papír széle ha kihajtjuk a papírt? Matematikai pontossággal meg tudjuk nevezni a kapott görbét?

A metszet tetején a papír rövidebb, az alján maximális a hossza, ha tehát több réteges a cső, akkor a kihajtott papír széle egy hullámzó görbe lesz, amely egy minim és maximum érték között váltakozik. Mit sejtünk ebből?

Állítsuk fel a hengert függőlegesen, úgy, hogy a ferdén elmetszett vége legyen felül. Jelöljük a henger sugarát R-rel. A vágás síkjának hajlásszöge a vízszinteshez képest legyen α. Ezt ugye abban a függőleges síkban mérjük, amelyben a vágási sík a legmeredekebben emelkedik. Ha ebben az irányban vízszintesen egy egységet haladunk, akkor a vágási sík tan(α) egységet emelkedik.

A vágási sík valahol metszi a henger függőleges tengelyét, nevezzük ezt a pontot O-nak. Képzeljük el az O ponton átmenő vízszintes síkot, ehhez viszonyítjuk majd a vágás szélének magasságát, amit y-nal jelölünk. Az y magasság koordináta tehát pozitív az O-n átmenő vízszintes referencia sík fölött, és negatív a referencia sík alatt.

Most nézzünk rá felülről a hengerre. Ebből az irányból a hengert egy R sugarú körnek látjuk, a vágási görbe pontjait pedig a pontba húzott sugár forgásszögével tudjuk jellemezni. Mérjük ezt a ϕ forgásszöget a vágás legmagasabb pontjától, vagyis ott legyen ϕ = 0. Ekkor a vágás legalacsonyabb pontjában ϕ = π.

A kör adott pontjának a vágási sík emelkedési irányába eső vízszintes távolsága R·cos(ϕ). De mivel a sík minden vízszintes egység alatt tan(α) egységet emelkedik, ezért a vágás szélének magassága: y = R·tan(α) ·cos(ϕ).

Eddig még a hengeren haladtunk körbe. Most képzeletben vágjuk fel a papírt egy függőleges alkotó mentén, és terítsük ki síkba. Ha a henger kerületén ϕ szöggel fordulunk el, akkor a paláston megtett út x = R·ϕ, ez lesz a kiterített papíron a vízszintes távolság. A magasság pedig nem változik a papíron se, x függvényében így írhatjuk: y(x) = R·tan(α)·cos(x/R), ami megfelelő egységekben egy koszinusz görbe. A koszinusz pedig ugyanaz a görbe, mint a szinusz, csak vízszintesen egy negyed periódussal eltolva. A kihajtott papír széle tehát szinuszhullám alakú, a hullámhossza pedig a henger kerülete.

Az az érdekesség tehát, hogy ami a térben egy ellipszis, az a papíron szinuszgörbe. Ha valaki tökéletes szinuszt szeretne rajzolni egy papírra, a legjobb módszer az, ha hengerré hajtja a papírját, és elmetszi egy síkkal!

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is. Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre. Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.

Forrás